Forum libero

Il discorso del quadrato-cerchio è in realtà simile ad un altro problema.
Sappiamo che in un quadrato di lato 1 abbiamo che la diagonale misura sqrt(2).

Con lo stesso procedimento del quadrato-cerchio provo ad approssimare la diagonale.
Prendo dunque due lati (opposti alla diagonale), la loro somma è 2. A questo punto spezzo l'angolo in modo identico al quadrato-cerchio, ma la somma è ancora 2.

Procedo così all'infinito... e "provo" che 2==sqrt(2) cosa che è evidentemente sbagliata (due numeri reali diversi non possono essere uguali).
Qui è evidente, nel caso del cerchio un po' meno perché potrei dubitare che la circonferenza sia pi-greco.

In realtà però quello che sto facendo con questo procedimento è _approssimare l'area_ sottesa alla diagonale... e NON sto affatto approssimando la lunghezza della diagonale.

Questo procedimento (approssimare l'area in questo modo) si chiama somma di Riemann... e funziona... fintanto ché quello che vuoi approssimare è l'area (si può calcolare l'integrale in questo modo).

Perché non funziona per approssimare la lunghezza della curva?

Prendiamo il caso del quadrato-diagonale.
Spezzo l'angolo, ora ho due angoli da spezzare.

La somma dell'area sottesa è diminuita... ma non il perimetro. I nuovi angoli hanno comunque una diagonale sotto di loro e non importa quanto piccoli diventano... avranno SEMPRE una diagonale sotto di loro, perché sono appunto un angolo...

In altre parole... continuerò sempre ad avere un angolo ovvero non mi avvicinerò mai in realtà alla veda forma della curva che vorrei approssimare.

Visivamente sembra che lo faccia, ma in realtà non succede, non in un mondo esatto, che è quello matematico, in cui puoi continuare all'infinito a spezzare le cose in cose sempre più piccole.

È vero che ora i lati dell'angolo sono più piccoli... ma stavolta ne ho DUE di angoli, e non più uno. Facendo tendere la cosa all'infinito... è vero che avrò lati (dell'angolo) sempre più piccoli... ma avrò anche sempre più angoli. In altre parole le due cose finiscono per equilibrarsi. Lati infinitamente più piccoli... ma anche infinitamente più numerosi e la loro somma si equilibra portandoti sempre allo stesso numero.
In altre parole non ottengo mai una curva la cui derivata sia uguale a quella della curva che voglio approssimare.

Disegnando il caso del quadrato-diagonale è più evidente che con il cechio. Spezzo l'angolo... ma l'angolo ha sempre la diagonale. Zoomo. Lo spezzo ancora... ma l'angolo ha ancora la diagonale. Ripeto all'infinito... zoomo all'infinito, e mi ritrovo comunque con la diagonale sotto l'angolo. Ovvero... non mi sono mai avvicinato a quella stramaledetta diagonale che continua a scapparmi diventando sempre più piccolina ma sempre irraggiungibile.


Non fiori ma opere di bene, grazie.