Forum libero

- Scritto da: Giambo
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OOOOOOOOOOOOOLD

Basta spostare il punto esclamativo!

* * *

Dunque, una parziale risposta è che se un oggetto X tende a un oggetto Y, non necessariamente ogni proprietà P di X tende alla corrispondente P di Y.

Questo è evidente se la proprietà è espressa come una funzione, nel nostro esempio la lunghezza come funzione tra un insieme di curve e l'insieme dei numeri reali positivi + {0}.

L'immagine suggerisce di ragionare dando per scontato che se una successione di curve converge a una curva, la lunghezza delle curve della successione (nell'esempio sempre 4) tenda alla lunghezza della curva limite (π).

Nel nostro caso abbiamo una successione di curve poligonali che tende a una circonferenza. Definendo una distanza tra curve regolari a tratti si può precisare il significato di "tende" come "è arbitrariamente vicino a". Lo stesso si può fare parametrizzando le curve e usando i noti concetti di convergenza puntuale, uniforme, etc. Questo per definire rigorosamente il significato di "tendere" in modo da dimostrare, se occorre, che la successione delle poligonali converge alla circonferenza.

Per una curva X tendente alla curva Y, la lunghezza L(X) tende a L(Y) se L è una funzione continua.
Qui inizia il dubbio. Non mi viene in mente perché la corrispondenza tra curve e lunghezze possa essere una funzione non continua... a parte l'esempio fornito da questo problema!

Nei vari forum si legge come spiegazione dell'errore che la lunghezza è definita tramite la derivata, che per le curve poligonali della successione "non è definita". Però

1. Le poligonali della successione che converge alla circonferenza sono regolari a tratti, e la loro derivata è definita negli intervalli in cui sono regolari, il che permette di calcolare la lunghezza come somma di lunghezze in tali intervalli.

2. La definizione della lunghezza di una curva come
http://upload.wikimedia.org/math/6/b/8/6b834e841cc...
vale per le curve derivabili ma discende da una definizione più generale applicabile a curve regolari a tratti,
http://upload.wikimedia.org/math/7/1/6/7167cc1231a...

per cui per definire la lunghezza di una curva non è necessario che questa sia derivabile in ogni punto.

V. http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_(matematica)

A questo punto resterebbe da mostrare in generale, al di là di questo particolare problema, che la lunghezza di una curva intesa come funzione definita nell'insieme delle curve regolari a tratti (eventualmente reso spazio metrico definendo la distanza fra curve) non è necessariamente continua. Non è necessario, perché proprio questo problema ne dà un esempio, ma mi piacerebbe vederlo.